นักคณิตศาสตร์เขยิบเข้า"ใกล้"การพิสูจน์ Twin Prime Conjecture

By: terminus
Writer
on Sat, 14/09/2013 - 00:49

สิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของจำนวนเฉพาะคือบางทีเราจะเห็นมันมาเป็น "คู่แฝด" อันเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีส่วนต่างเท่ากับ 2 เช่น 3 กับ 5, 5 กับ 7, 11 กับ 13 เป็นต้น นักคณิตศาสตร์เรียกคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า "twin primes" (ถ้าส่วนต่างเท่ากับ 4 เรียกว่า "cousin primes" และถ้าส่วนต่างเท่ากับ 6 เรียกว่า "sexy primes")

ในปี 2011 นักคณิตศาสตร์ทำลายสถิติพบ twin primes ที่ใหญ่ที่สุด คือ คู่ของ 3,756,801,695,685 × 2666,669 + 1 กับ 3,756,801,695,685 × 2666,669 - 1 แต่ทุกคนรู้แก่ใจดีว่านี่ไม่ใช่จุดสิ้นสุด เพราะใน ค.ศ. 1849 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Alphonse de Polignac ได้เสนอข้อคาดการณ์ (conjecture) อันหนึ่งขึ้นมาว่า "คู่ twin primes มีจำนวนเป็นอนันต์" ซึ่งต่อมาข้อคาดการณ์นี้ก็ถูกขนานนามว่า "twin prime conjecture" และขึ้นอยู่ในบัญชีรอการพิสูจน์

เมื่อปลายต้นเดือนพฤษภาคม 2013 ที่ผ่านมา Yitang Zhang นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ได้ตีพิมพ์ความก้าวหน้าในการพิสูจน์นี้ลงในวารสาร Annals of Mathematics ของมหาวิทยาลัยปริ๊นซ์ตัน รายงานการพิสูจน์หลายสิบหน้าแสดงให้เห็นว่า

"คู่ของจำนวนเฉพาะที่มีส่วนต่างน้อยกว่าหรือเท่ากับ 70,000,000 มีจำนวนเป็นอนันต์"

  • อ่านดีๆ นะครับ ข้อพิสูจน์นี้ไม่ได้หมายความว่าส่วนต่างระหว่างคู่จำนวนเฉพาะที่ติดกันคู่ใดๆ ต้องมีค่าน้อยกว่า 70,000,000 เสมอไป อันนั้นเป็นเรื่องของขอบเขตบน (upper bound) ของ prime gap ซึ่ง Bertrand's postulate ชี้ให้เห็นว่า prime gap ของจำนวนเฉพาะ p ใดๆ จะมีค่าน้อยกว่า p เสมอ (และนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังก็พิสูจน์ขยับลดค่าขอบเขตบนสุดของ prime gap ลงมาเรื่อยๆ)

การพิสูจน์ของ Yitang Zhang เป็นการต่อยอดมาจากการพิสูจน์ของทีม Daniel Goldston จาก San Jose State University ในปี ค.ศ. 2005 ที่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ๆ บางตัวสามารถอยู่ใกล้กันได้ (prime number theorem ชี้ว่าระยะห่างเฉลี่ยของจำนวนเฉพาะที่มีค่าระหว่าง 1 ถึง N จะมีค่าเท่ากับ ln N เมื่อ N เป็นจำนวนนับขนาดใหญ่ ดังนั้นยิ่งตัวเลข N มีค่ามากขึ้น ระยะห่างเฉลี่ยของจำนวนเฉพาะก็จะมากขึ้น)

แม้ว่าเลข 70,000,000 จะไม่ได้ใกล้เคียงเลข 2 เลยสักนิดในสายตาของคนทั่วไป แต่นักคณิตศาสตร์ผู้หลงใหลในจำนวนเฉพาะก็มองว่านี่เป็นความก้าวหน้าที่ยิ่งใหญ่มากในหนทางแห่งการพิสูจน์ twin prime conjecture เพราะถึงอย่างไรก็ตาม เลข 70,000,000 ยังไม่ใช่ระยะอนันต์ นอกจากนี้ Yitang Zhang ก็พิสูจน์ด้วยการกำหนดตัวเลข 70,000,000 ขึ้นมาคร่าวๆ เท่านั้น นักคณิตศาสตร์เกือบทุกคนเชื่อว่ายังสามารถปรับปรุงให้ตัวเลขเล็กลงกว่านี้ได้อีกเยอะ และเมื่อปลายเดือนกรกฎาคม 2013 โครงการ Polymath ก็ได้อ้างผลงานว่าสามารถลดตัวเลขในวิธีพิสูจน์ของ Daniel Goldston ลงมาเหลือแค่ 4,680 แล้ว (อ้างอิง: http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

ที่มา - New Scientist

ข้างล่างนี้เป็นวิดีโออธิบายเนื้อหาของข่าวนี้อย่างง่ายๆ โดยนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนอตติ้งแฮม

1 Comment