ความลับแห่งจำนวนเฉพาะกำลังจะถูกเปิดเผย?: นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่น(อาจ)พิสูจน์ abc conjecture ได้แล้ว

By: terminus
Writer
on Wed, 12/09/2012 - 05:10

abc conjecture หรือ Oesterlé–Masser conjecture คือหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีจำนวน มันจัดอยู่ในกลุ่มปัญหาประเภท Diophantine problem ซึ่งหมายถึงปัญหาที่เขียนอยู่ในรูปสมการพหุนาม (polynomial equation) ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเต็ม เช่น \(\begin{align}
a^{ n}+ b^{ n}= c^{ n}
\end{align}
\) เป็นต้น นักคณิตศาสตร์สองคน David Masser และ Joseph Oesterle เสนอ abc conjecture ขึ้นมาพร้อมกันในปี 1985 โดยไม่ได้นัดหมาย

abc conjecture คืออะไร

ก่อนจะรู้ว่า abc conjecture คืออะไรและเกี่ยวข้องอะไรกับจำนวนเฉพาะ เราจำเป็นจะต้องเข้าใจความหมายของคำว่า radical เสียก่อน ไม่ใช่ radical ทางการเมืองแบบพวกนักปฏิวัตินะ (อันนั้นให้ไปคุยกับพวกเสื้อแดง-เสื้อเหลืองกันเอาเอง) แต่เป็นความหมายทางคณิตศาสตร์

radical ของเลขจำนวนเต็ม n หรือ rad(n) คือ ตัวประกอบที่เกิดจากการเอาตัวประกอบเฉพาะของเลข n นั้นแต่ละตัวมาคูณกันโดยไม่ให้ซ้ำ เช่น 72=2×2×2×3×3 เราจะได้ว่า radical ของ 72 คือ 2×3 = 6 เป็นต้น บางทีเราอาจเรียก radical ว่า "square-free part" หรือ sqp เนื่องจากไม่มีกำลังสองของจำนวนเต็มใดๆ มาหารมันได้ลงตัว

abc conjecture นั้นเกี่ยวเนื่องกับเลขจำนวนเต็มบวกสามตัว a, b, c ที่มีคุณสมบัติดังนี้

  1. a กับ b ไม่มีตัวประกอบเฉพาะซ้ำกันเลย (ตัวประกอบเฉพาะ หรือ prime factor คือตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เราไม่นับ 1 เป็นตัวประกอบเฉพาะเพราะ 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เช่น 6 กับ 25

  2. c เป็นผลบวกของ a และ b หรือเขียนในรูปสมการได้ว่า a+b=c

  3. จาก radical ของผลคูณ a, b, c หรือ rad(abc) เรากำหนดว่า คุณตะพาบ เอ๊ย "คุณภาพ" (quality) ของเลขชุด a, b, c หรือ q(a, b, c) คือ เลขชี้กำลังที่จะทำให้ rad(abc) มีค่าเท่ากับ c
    เขียนความสัมพันธ์เป็นสมการได้ว่า
    \(\begin{align}
    \left(\operatorname{rad}\left( a b c\right)\right)^{ q\left( a, b, c\right)}= c
    \end{align}
    \)
    และเมื่อใส่ logarithm เข้าไปกับจัดรูปสมการใหม่สักเล็กน้อย เราก็จะได้ว่า
    \(\begin{align}
    q\left( a, b, c\right)=\frac{\log\left( c\right)}{\log\left(\operatorname{rad}\left( a b c\right)\right)}
    \end{align}
    \)

ตัวอย่าง สมมติให้ a = 1, b = 8 ดังนั้น c = 9 โดยดุษฎี เราจะได้ rad(abc) = 6 และคุณภาพของเลขชุด a, b, c ก็จะเท่ากับ q(a, b, c) = log(9)/log(6) ≈ 1.22629

จากข้างบน คนที่คิดตามได้ทันก็จะรู้สึกได้เลยทันทีว่า เราสามารถหาเลขชุด a, b, c ที่มี c มากกว่า rad(abc) หรือ q(a,b,c) มากกว่า 1 ได้ไม่จำกัด มันมีจำนวนเลขชุดแบบนี้เป็นอนันต์ และนักคณิตศาสตร์ก็พิสูจน์ตรงจุดนี้ได้เรียบร้อยโรงเรียนเอ-บี-ซีไปนานแล้ว แต่เราไม่รู้ว่าจำนวนเลขชุด a, b, c ที่มี q(a,b,c) มากกว่า 2 หรือ 1.5 หรือ 1.01 มีมากเป็นอนันต์หรือไม่

เมื่อเข้าใจทุกอย่างตรงกันแล้ว ก็ถึงคราวอธิบาย abc conjecture สักที นั่นคือ ....แต่น แต่น แต๊น.......

ถ้ากำหนด h เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 แล้ว จำนวนของเลขชุด a, b, c ที่ให้ผล q(a, b, c) มากกว่า h จะมีจำนวนจำกัด ไม่ใช่มีจำนวนเป็นอนันต์

ตามที่ abc conjecture กล่าว ข้อความข้างบนจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า h จะมากกว่า 1 เล็กน้อยสักเท่าไรก็ตาม จะเป็น 2 หรือ 1.01 หรือ 1.0001 หรือ 1.0000...00001 ก็ได้

และจาก abc conjecture เราก็จะค้นพบลักษณะอีกข้อว่า q(a, b, c) มีค่าขอบเขตบน (upper bound) นั่นคือคุณภาพของชุด a,b,c จะไม่สามารถมีค่ามากกว่าเลขค่าหนึ่งไปได้ นักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการมีค่าขอบเขตบนของ q(a, b, c) ว่า "weak abc conjecture" เนื่องจากมันแตกออกมาจาก abc conjecture โดยตรง และหากเราพิสูจน์ได้ว่า abc conjecture (หรือจะเรียกว่า strong abc conjecture ก็ได้เพื่อไม่ให้สับสน) เป็นจริง เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า weak abc conjecture เป็นจริง

ค่า q(a, b, c) สูงสุดที่นักคณิตศาสตร์พยายามหาแบบถึกๆ น่ารักๆ มาได้ อยู่ที่ประมาณ 1.63 ปัจจุบันยังไม่มีการค้นพบเลขชุด a, b, c ที่มีคุณภาพเกินกว่านี้


ขอบคุณคำอธิบายจาก ABC@home

และขอบคุณ คุณ melsk125 ที่ช่วยแก้ไขคำแปล


ความพยายามพิสูจน์ abc conjecture นั้นมีมาตั้งแต่ปีแรกๆ ที่มันถูกเสนอขึ้นมาเลย ความพยายามที่ใกล้เคียงความสำเร็จที่สุดน่าจะเป็นของนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส Lucien Szpiro เจ้าของ Szpiro's conjecture (ซึ่งเป็นตัวที่นำไปสู่ abc conjecture อีกที) อย่างไรก็ตามบทพิสูจน์ของ Lucien Szpiro ก็ถูกพบว่ามีช่องโหว่ มันจึงโดนตีตกไปอย่างน่าเสียดาย

ล่าสุด ในเดือนสิงหาคม 2012 ที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Shinichi Mochizuki แห่งมหาวิทยาลัยเกียวโต ก็ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ abc conjecture ความยาวประมาณ 500 หน้ากระตาษ เรียกได้ว่าสร้างความตกตะลึงให้กับวงการคณิตศาสตร์ทั้งวงการ

Shinichi Mochizuki มีผลงานพิสูจน์ทฤษฎีคณิตศาสตร์ยากๆ มาแล้วหลายทฤษฎีบท (ดูผลงานของศาสตราจารย์ Shinichi Mochizuki ได้จาก www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/top-english.html) การพิสูจน์ abc conjecture ของเขาในครั้งนี้เริ่มคลำทางด้วยทฤษฎีเส้นโค้งวงรีซึ่งเป็นวิธีเดียวกับที่ Lucien Szpiro เคยใช้ และเป็นวิธีเดียวกับที่ Andrew Wiles ใช้พิสูจน์ Fermat’s Last Theorem ด้วย

แต่ทฤษฎีเส้นโค้งวงรีก็ยังไม่เพียงพอจะรับมือปราบพยศ abc conjecture ได้ ศาสตราจารย์ Shinichi Mochizuki จึงพัฒนาวิธีการและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่จนกระทั่งพิสูจน์ abc conjecture สำเร็จ

การพิสูจน์ของ Shinichi Mochizuki แบ่งตีพิมพ์แยกออกเป็น 4 บทความ ได้แก่

  1. Mochizuki, S. Inter-universal teichmuller theory I: construction of Hodge Theatres (2012). http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf

  2. Mochizuki, S. Inter-universal teichmüller theory II: Hodge–Arajekekiv-theoretic evalulation (2012). http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf

  3. Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory III: canonical splittings of the log-theta-lattice (2012). http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf

  4. Mochizuki, S. Interuniversal teichmüller theory IV: log-volume computations and set-theoretic foundations (2012). http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf

บทพิสูจน์ตัวจริงอยู่ในบทความอันที่สี่ แต่ว่าการจะเข้าใจบทพิสูจน์จะต้องอ่านบทความสามอันแรกมาก่อน และต้องอ่านตามลำดับด้วยเพราะบทความอันแรกอธิบายพื้นฐานของบทความอันที่สอง อันที่สองก็อธิบายพื้นของอันที่สาม ว่ากันว่า ณ เวลาปัจจุบันนี้ มีนักคณิตศาสตร์เพียงหยิบมือเท่านั้นที่จะเข้าใจบทพิสูจน์ของ Shinichi Mochizuki ได้

เรายังคงต้องรอการยืนยันจากนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นว่าบทพิสูจน์ของ Shinichi Mochizuki ถูกต้องหรือไม่ ซึ่งคงต้องรออีกนานเนื่องจากการจะย่อยเนื้อหาของบทพิสูจน์ 500 กว่าหน้านั้น มันต้องใช้เวลาและพลังงานมหาศาล แต่รับรองว่างานนี้มีคนทุ่มสุดตัวแน่นอน เพราะว่า abc conjecture มันครอบคลุมปัญหา Diophantine equation หลายตัวรวมถึง Fermat’s Last Theorem อันโด่งดังด้วย เราสามารถไต่จาก abc conjecture ไปพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นๆ ได้ (แม้ว่า abc conjecture จะสำคัญกว่าและใหญ่กว่า Fermat’s Last Theorem แต่มันกลับดังน้อยกว่า ผมคิดว่าส่วนหนึ่งอาจจะเป็นเพราะ abc conjecture ทำความเข้าใจได้ยากกว่าและมันไม่ได้มีเรื่องราวดราม่าปูพื้นแบบ Fermat’s Last Theorem)

นอกจากนั้น abc conjecture ยังเกี่ยวพันกับจำนวนเฉพาะ (prime number) นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าการพิสูจน์ abc conjecture จะเผยให้เห็นถึงความสัมพันธ์บางอย่างในรูปแบบของจำนวนเฉพาะ แถมวิธีที่ Shinichi Mochizuki พัฒนาขึ้นมา ถ้ามันถูกต้อง ก็จะเป็นประโยชน์ต่อการแก้ปัญหาอื่นๆ ในทฤษฎีจำนวนได้อีกหลายข้อ

Dorian Goldfeld นักคณิตศาสต์แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบียในนิวยอร์กกล่าวว่า "หากการพิสูจน์ของ Shinichi Mochizuki ถูกต้อง มันจะเป็นความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษที่ 21”

บางคนอาจกำลังคิดว่า "ก็ช่างหัวพ่_งนักคณิตศาสตร์ไปสิ abc conjecture ไม่เกี่ยวอะไรกับชีวิตของเราเลย" ผมขอบอกว่าคุณกำลังมองข้ามความสำคัญของคณิตศาสตร์ไปอย่างรุนแรง ทุกครั้งที่เราล็อกอินเข้า Facebook, ช็อปปิ้งออนไลน์, แชตจีบสาว, ฟอร์เวิร์ดอีเมล์ด่านักการเมือง ฯลฯ เรากำลังอ้าแขนรับคณิตศาสตร์อย่างไม่รู้ตัว ความสำเร็จของเทคโนโลยีไอทีที่เราบริโภคกันทุกวันนี้ล้วนเป็นผลพวงมาจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ไม่มีใครรู้หรอกว่าในวันข้างหน้าผลของการพิสูจน์ abc conjecture อาจจะกลายมาเป็นสิ่งที่อยู่ข้างๆ ตัวคุณเพียงแค่ลัดนิ้วมือเดียวก็ได้... *และผมหวังว่ามันจะมาดี ไม่ใช่มาร้าย*

ที่มา - Nature News, Live Science

12 Comments

melsk125's picture

"ไม่ว่า a และ b จะเป็นเลขจำนวนเต็มตัวไหนก็ตาม c ก็จะมากกว่า rad(abc) เสมอ"
ประโยคนี้ผิดครับ
ตัวอย่างเช่น a = 6, b = 25 ตามที่ยกมา จะได้ c = 31, rad(abc) = 2 * 3 * 5 * 31 > c

"rad(abc) น้อยกว่า c" เป็นเงื่อนไขครับ ไม่ใช่คุณสมบัติ

terminus's picture

โอ้ ถูกต้องตามที่คุณชี้แนะครับ ผมอ่านไม่ระวังเอง

แก้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

soginal's picture

. #อ่านไปได้ครึ่งเดียวแล้ววิ่งร้องไห้ออกไป T_T

hisoft's picture

ผมกรอข้ามลงมาอ่านคอมเมนท์แล้วค่อยหนีไปร้องไห้ครับ :p

The Phantom Thief

hisoft's picture

วันนี้ทำใจเสร็จแล้วครับ มาอ่าน ไม่รู้เรื่องเลยจริง ๆ ด้วย

โฮฮฮฮฮ

แต่อย่างน้อยก็เจอ Fermat มาจากหนังสือชุด Millennium Trilogy เล่มสอง (The girl who play with fire)

The Phantom Thief

wichate's picture

งง สุดๆ ไปเลย... ยีนต์โง่ในหัวมันเยอะ (อ๋อ ยีนต์มันอยู่ในเซลล์นี่หว่า)

virusfowl's picture

>500 หน้ากระตาษ เรียกได้ว่าสร้างความตกตะลึงให้กับวงการคณิตศาสตร์ทั้งวงการ

OH! น่าตกตะลึงจริงๆ ครับ 500 หน้ากระตาษ :D

อะอะล้อเล่นนน กระตาษ > กระดาษ ครับ :)

ข่าวนี้อาจจะต้องอ่านทวนอีกไม่รู้กี่ครั้งถึงจะเข้าใจ ^^