นักคณิตศาสตร์เข้าใกล้การพิสูจน์ Goldbach's Weak Conjecture ขึ้นไปอีกขั้น

By: terminus
Writer
on Mon, 14/05/2012 - 23:02

Goldbach's Weak Conjecture เป็นหนึ่งในปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ยังไม่สามารถพิสูจน์ได้แม้ว่าเวลาจะล่วงเลยผ่านมา 210 ปีแล้ว (นับจากจดหมายที่ Christian Goldbach เขียนถึง Leonhard Euler ในปี 1742)

Goldbach's Weak Conjecture กล่าวไว้ว่า

> เลขคี่ทุกตัวที่มากกว่า 7 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะคี่ 3 จำนวนได้ (จำนวนเฉพาะในผลบวกสามารถใช้ซ้ำกันได้)

เช่น
35 = 19 + 13 + 3

ตั้งแต่ต้นคริสตศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ก็พอจะพิสูจน์โดยอิงจาก Generalized Riemann hypothesis (ซึ่ง Riemann hypothesis ก็ยังพิสูจน์ไม่เสร็จอีกเช่นกัน แต่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่ามันเป็นจริง) ได้ว่า Goldbach's Weak Conjecture เป็นจริงสำหรับเลขคี่ที่ใหญ่มากๆ (อาจจะฟังดูขัดกับสามัญสำนึกว่าทำไมพิสูจน์เลขใหญ่ๆ ได้ก่อน แต่ลองคิดตามดูดีๆ ว่ายิ่งเลขใหญ่มาก ชุดของเลขจำนวนเฉพาะคี่ 3 ตัวที่บวกกันได้เลขนั้นก็ยิ่งมีหลายชุด จึงพิสูจน์ได้ง่ายกว่า) นั่นแปลว่างานที่เหลือของนักคณิตศาสตร์ก็คือพิสูจน์ให้ได้ว่าเลขคี่จำนวนเล็กๆ ที่เหลือเป็นไปตาม Goldbach's Weak Conjecture ทั้งหมด

แต่งานนั้นก็ไม่ได้ง่ายนัก การพิสูจน์ในปี 1939 ระบุว่า เลขคี่ใหญ่มากๆ ที่เป็นไปตาม Goldbach's Weak Conjecture แน่นอน คือ เลขคี่ที่มากกว่า 314348907 ขึ้นไป (เลขนี้ถ้าเขียนเป็นเลขฐานสิบเต็มๆ จะมีจำนวนหลัก 6,846,169 หลัก!!!) และในปี 2002 ก็ก้าวหน้าขึ้นโดยการลดระดับลงมาเหลือแค่ e3100 (เลขนี้มี 1,346 หลัก... ค่อยยังชั่ว)

จากการตรวจสอบด้วยวิธีถึกๆ ในคอมพิวเตอร์ นักคณิตศาสตร์ไล่ตรวจเลขคี่ทุกตัวขึ้นไปจนถึงเลข 19 หลัก ก็ไม่พบว่ามีเลขคี่ตัวไหนขัดกับ Goldbach's Weak Conjecture

คนที่ใช้วิธีตรวจสอบแบบถึกบริสุทธิ์ก็ใช้ไป อีกฝั่งก็พยายามใช้วิธีที่ถึกน้อยกว่า ล่าสุดนักคณิตศาสตร์ Terence Tao แห่ง University of California, Los Angeles พิสูจน์ได้ว่า "เลขคี่ทุกตัวที่มากกว่า 1 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะคี่ไม่เกิน 5 จำนวนได้" ซึ่งเป็นผลการพิสูจน์ที่ใกล้เคียงกับ Goldbach's Weak Conjecture มาก

และที่สำคัญคือการพิสูจน์ของ Terence Tao ไม่ได้อิงอยู่บน Riemann hypothesis ด้วย ถือว่าเป็นการก้าวหน้าขึ้นมาอีกหน่อยจากที่ในปี 1997 Leszek Kaniecki ใช้ Riemann hypothesis พิสูจน์ได้ผลอย่างเดียวกัน (Acta Arithmetica 4: 361–374)

Terence Tao หวังว่า ความสำเร็จในการพิสูจน์ Goldbach's Weak Conjecture ทั้งหมดเป็นไปเพื่อความสุขสนุกสนานของนักคณิตศาสตร์ อาจจะมีประโยชน์เชิงประยุกต์ในการพัฒนาการเข้ารหัสคอมพิวเตอร์ในวันข้างหน้า

การพิสูจน์ของ Terence Tao ถูกฝากไว้ที่ arxiv.org/abs/1201.6656

ที่มา - Scientific American,

ข้อมูลจาก - Wikipedia

ป.ล. Goldbach's weak conjecture นั้นเป็นผลที่อนุมานออกมาจาก Goldbach's strong conjecture ซึ่งกล่าวไว้ว่า

> เลขคู่ทุกตัวที่มากกว่า 2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนได้

จะเห็นว่าถ้า Goldbach's strong conjecture เป็นจริง ก็จะทำให้ Goldbach's weak conjecture เป็นจริงตามไปด้วย เพราะเลขคู่เล็กที่สุดที่มากกว่า 2 ก็คือ "4" เมื่อเอา 3 (ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่เล็กที่สุด) บวกเข้าไปก็จะได้ผลลัพธ์คือ 7 นั่นเอง ดังนั้นถ้าเลขคู่ทุกตัวเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนเฉพาะสองตัวได้ แค่เอาเลข 3 บวกเข้าไป เราก็จะได้เลขคี่ที่มากกว่า 7 และเป็นผลบวกของจำนวนเฉพาะคี่สามตัว (2 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นเราจึงแน่ใจได้ว่าจำนวนเฉพาะสองตัวที่บวกกันได้เลขคู่ที่มากกว่า 4 ต้องเป็นเลขคี่ทั้งคู่)

10 Comments

terminus's picture

คิดว่างั้นครับ เพราะดูเหมือนว่าจะเป็นการไล่เช็คทีละตัว

ต้องถามนักคณิตศาสตร์ว่ามันถือเป็น brute force หรือถือเป็นธรรมเนียมปกติของนักคณิตศาสตร์

neizod's picture

ถึก == brute force ครับ

ปรกติเวลาคิดอะไรไม่ออก ผมก็ถึกลองหาตัวอย่างไปก่อนนะ ยกเว้นเจออะไรคุ้นหน้าคุ้นตา ก็ตอบได้เลย

แต่ส่วนใหญ่ paper ไม่เขียนผล brute force มาให้ดูหรอกครับ พอรู้ว่าข้อความไหนเป็นจริงแล้ว ก็หาทางจัดรูปเอาทฤษฎีอื่นๆ มาอธิบาย สุดท้ายก็ลดรูปเหลือสองสามบรรทัดอะไรประมาณนั้น (คนมาอ่านทีหลังก็งงเลย 55)

hisoft's picture

+1 ขืนเขียนผล brute-force ลงไปผมคงตกแหง ๆ :P

แต่ผมชอบคำว่า "คนที่ใช้วิธีตรวจสอบแบบถึกบริสุทธิ์" มากเลยแฮะ

The Phantom Thief

PaPaSEK's picture

เหมือนกับโปรแกรมเมอร์ที่ชอบเขียน flowchart หรือ working diagram จาก code ซึ่งจริงๆ แล้วมันต้องทำสลับลำดับกัน

mementototem's picture

>เพราะเลขคู่ที่เล็กที่สุดที่น้อยกว่า 2 ก็คือ "4"

"ที่มากกว่า 2" หรือเปล่าครับ หรือผมงงเอง เหอะ ๆ

tekkasit's picture

"เลขคี่ทุกตัวที่มากกว่า 1 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะคี่ไม่เกิน 5 จำนวนได้"
แสดงว่าคิดว่าเลข 1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือ?

เพราะเลข 3 ไม่น่าจะเขียนได้ถ้าไม่คิดว่า 1 คือจำนวนเฉพาะนะ

hisoft's picture

1 จำนวน ก็คือไม่เกิน 5 ครับ เค้าอาจจะหมายถึง 3 เดี่ยว ๆ เลยก็ได้ (ถ้านับเป็นผลรวมได้นะ ซึ่งผมว่าได้)

The Phantom Thief